피보나치 수열: 수학의 아름다움과 황금비율
피보나치 수열은 수열이라는 말 그대로 수를 나열한 것입니다. 그런데 단순한 숫자의 배열에 그치지 않고, 자연과 예술, 그리고 심지어 금융 시장까지 영향을 미치는 특별한 수학적 패턴입니다. 궁극적으로는 주식이나 코인의 기술적 분석에 활용할 것이지만, 일단 이 글에서는 피보나치 수열이 무엇인지 알아보겠습니다.
글의 순서
피보나치 수열이란?
피보나치수열과 자연
피보나치수열에 숨겨진 패턴
피보나치 수열과 황금비율
피보나치수열과 수학의 목적
피보나치 수열이란?
피보나치 수열은 간단한 규칙으로 이루어진 숫자의 배열입니다. 이 배열은 첫 번째와 두 번째 숫자가 각각 1로 시작하며, 이후는 바로 앞 두 숫자의 합으로 정의됩니다.
예를 들어:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
이 수열을 만든 사람은 레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci, 1170년 ~ 1240년-1250년)라는 중세 이탈리아의 수학자입니다. 그는 자신의 책 Liber Abaci에서 이 수열을 소개했는데, 피보나치가 소개한 수학은 오늘날 우리가 숫자를 더하고, 빼고, 곱하고, 나누는 계산 방법의 기초가 되었습니다. 쉽게 말해, 우리가 지금 사용하는 편리한 계산 방식은 바로 피보나치가 서양에 이 수열을 널리 알린 덕분이라고 할 수 있습니다.
피보나치 수열의 피보나치는 고유명사이지만, 상황에 따라 비슷한 개념을 표현할 수 있는 대체 용어를 사용할 수 있습니다. 예를 들자면, 자연 성장 수열 (Natural Growth Sequence), 황금 수열 (Golden Sequence), 재귀적 수열 (Recursive Sequence), 조화 수열 (Harmonic Sequence), 생명 수열 (Life Sequence), 레오나르도 수열 (Leonardo Sequence), 나선 수열 (Spiral Sequence), 그리고 자연 비율 수열 (Natural Ratio Sequence)을 들 수 있습니다.
피보나치 수열과 자연
피보나치 수열은 자연 속에서도 나타납니다. 예를 들어,
▶꽃잎의 개수: 꽃잎은 3장, 5장, 8장 등 피보나치 수가 되는 경우가 많습니다.
▶해바라기 씨앗의 배열: 씨앗들이 나선형으로 배치될 때 피보나치 배열을 따릅니다.
▶소라와 고둥의 껍질: 나선형의 모양은 피보나치 배열과 관련이 있습니다.
이뿐만 아니라 피보나치 수열은 황금비율(1.618)과도 깊은 관계가 있습니다. 예술과 건축에서도 많이 응용되는 황금비율은 피라미드, 파르테논 신전, 그리고 신용카드와 같은 일상 속 물건들에서도 발견됩니다.
피보나치 수열에 숨겨진 패턴
제곱의 합과 피보나치
피보나치 배열에는 숨겨진 아름다운 패턴들이 있습니다. 예를 들어, 피보나치 수들의 제곱 합을 더해 보겠습니다.
놀랍게도 이 결과는 피보나치 수열의 특정 항들의 곱으로 표현됩니다:
여기서 8과 13은 피보나치수열의 연속된 두 항입니다!
왜 이런 일이 일어날까요?
이 비밀을 이해하려면 사각형을 이용한 시각화를 해보면 됩니다.
1×1, 1×1, 2×2, 3×3, 5×5, 8×8 크기의 정사각형을 순서대로 배치하면 하나의 큰 직사각형이 만들어집니다. 이 직사각형은 단순히 정사각형들을 나란히 배치한 결과물일 뿐 아니라, 피보나치 수열과 관련된 놀랄만한 성질을 보여줍니다.
먼저, 이 직사각형의 넓이를 계산하는 두 가지 방법이 있습니다.
첫 번째 방법: 각 정사각형의 넓이를 더하기
정사각형 각각의 넓이는 변의 길이를 제곱한 값입니다. 따라서 다음과 같이 계산합니다.
▶첫 번째 정사각형: 1 × 1 = 1
▶두 번째 정사각형: 1 × 1 = 1
▶세 번째 정사각형: 2 × 2 = 4
▶네 번째 정사각형: 3 × 3 = 9
▶다섯 번째 정사각형: 5 × 5 = 25
▶여섯 번째 정사각형: 8 × 8 = 64
이제 이 넓이들을 모두 더해보겠습니다.
1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 = 104
두 번째 방법: 직사각형 전체 넓이 계산
이 큰 직사각형의 가로와 세로는 각각 피보나치 수열의 마지막 두 항(5와 8)으로 이루어져 있습니다.
▶세로의 길이: 가장 큰 정사각형의 변의 길이인 8,
▶가로의 길이: 바로 아래의 정사각형 변의 길이 5와 8을 더한 값, 즉 5 + 8 = 13
직사각형의 넓이는 가로와 세로의 곱으로 계산할 수 있으므로
8 × 13 = 104
이렇게 두 가지 방식으로 넓이를 계산했을 때 결과가 동일하게 104가 나옵니다. 이를 통해 피보나치 수열의 성질이 단순히 숫자의 나열에 그치지 않고, 기하학적으로도 깜짝 놀랄만한 조화를 이루고 있다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 피보나치수열에 따라 만들어진 정사각형들은 그 자체로 수학적 규칙성을 보여줄 뿐 아니라, 그 규칙성이 넓이와 같은 물리적 성질에도 그대로 적용된다는 점에서 특별합니다.
피보나치수열과 황금비율
피보나치수열의 연속된 두 숫자를 나누면, 그 비율은 점점 황금비율(1.618…)에 가까워집니다. 예를 들어,
이 비율은 점점 1.618에 수렴하게 됩니다. 황금비율은 자연과 예술 속에서 조화롭고 아름답다고 느껴지는 비율로, 많은 수학자와 예술가들에게 영감을 주는 값입니다.
피보나치수열과 수학의 목적
피보나치수열은 단순한 계산을 넘어, 수학의 본질적인 목적을 잘 보여줍니다. 수학은 단순히 문제를 푸는 것 이상의 의미를 지니며, 우리에게 논리적이고 창의적으로 사고하는 방법을 가르쳐줍니다. 피보나치수열을 통해 수학이 얼마나 아름다울 수 있는지, 그리고 이 수학적 패턴이 우리의 세상을 이해하는 데 얼마나 유용한 도구가 될 수 있는지를 배울 수 있습니다..
마치며 …
피보나치 수열은 단순한 숫자의 나열을 넘어, 자연과 인간의 삶 속에서 특별한 역할을 합니다. 꽃잎의 배열, 소라 껍질에서 볼 수 있는 나선형, 그리고 주식 시장의 가격 변동까지, 피보나치수열은 조화와 균형을 이루는 자연의 원리를 담고 있습니다.
특히 황금비율과 연결되는 피보나치수열은 단순히 수학적 호기심을 넘어서, 예술, 건축, 금융 등 다양한 분야에서 실질적으로 활용됩니다. 이 글에서는 피보나치 수열의 기본적인 정의와 대표적인 패턴들을 살펴보았지만, 이는 시작에 불과합니다.
다음 포스팅에서는 피보나치 수열에 대한 이해의 폭을 파이썬 코딩으로 살펴보겠습니다.
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참고자료
▶ WIKIPEDIA, Fibonacci
▶ Fibonacci’s Liber Abaci (Book of Calculation)
▶ Ted English Subtitles, Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci number [Eng Sub]